特征多项式是啥

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特征多项式是啥

特征多项式是指常系数线性递推数列的分母，其生成函数是一个有理分式，特征多项式在基变更下不变，在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做常数项。

特征多项式是对于求解线性递推数列，我们还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。为n*n的矩阵A的特征多项式为|A-λE|，其中E为n*n的单位矩阵。

|A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。到此为止，特征多项式的定义表述完毕。

λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

若特征值a的重数是k，则 n-r(A) ；= k。设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

A是一个矩阵，P是A的特征多项式。P（A）的意思就是把lamda的地方全部换成A，然后计算出来。

特征向量和基础解系有啥区别?

特征向量和基础解系的定义不同 特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。基础解系：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

特征向量是特征值对应齐次方程组的基础解系。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

基础解系是满足AX=0的列向量，在此，A的秩用来判断基础解系中线性无关的解向量的个数，个数是n-r(A)个。通过对比AX=0和Aα=λα，可见，A的齐次解向量正好是A相应于λ=0的特征向量。特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Ax=ax，则x就是对应于特征值a的特征向量。

特征向量和基础解系的关系：特征向量是特征值对应产次方程组的基础解系。基础解系和特征向量是线性代数中两个重要的概念，它们在矩阵理论中起着至关重要的作用。基础解系是指一组线性无关的解，它们可以用来表示线性方程组的所有解。

特征向量是特征值对应齐次方程组的基础解系，特征值向量对于矩阵而言的，特征向量有对应的特征值，如果Ax=ax，则x就是对应于特征值a的特征向量。而解向量是对于方程组而言的，就是方程组的解，是一个意思。基础解系是对于方程组而言的，方程组才有所谓的基础解系，就是方程所有解的“基”。

二重特征值是什么意思二重特征值是啥意思

1、二重特征值是矩阵理论中的重要概念，指的是一个方阵的特征值出现重复的情况。具体地说，如果一个方阵有两个或以上的特征向量线性无关，且对应的特征值相同，那么这个特征值就是二重特征值。二重特征值在实际问题中很常见，常常涉及到对称矩阵和对称矩阵的特征值问题。

2、二重特征值是指特征值是特征多项式的2重根。如A的特征多项式为|λE-A |=（λ-2）(λ^2-8λ+18+3a）。当λ=2是特征方程的二重根，则有2^2-8*2+18+3a=0，解得a=-2。若λ=2不是特征方程的二重根，则(λ^2-8λ+18+3a）为完全平方，从18+3a=16而，解得 a。

3、二重特征值是指矩阵的特征值是特征多项式的重根。矩阵是一组按矩形阵列排列的复数或实数，它由方程组的系数和常数组成的方阵导出。这个概念最早是由英国数学家凯利提出的。矩阵是高等代数中的常用工具，在统计分析等应用数学学科中也很常见。

4、在线性代数中，二重特征值指的是矩阵的特征多项式在特征值为该二重特征值时，其对应的特征多项式的重数为2。对于一个n阶方阵A，如果其有一个特征值λ的代数重数为2，则它对应的特征多项式为(x-λ)^2，它的特征向量可能有一个或两个。

5、推导结果：线性无关解的个数与秩有关，你这里特征值为1的时候，题意是解的个数就是2，也就是线性无关的特征相量有2个，那么矩阵的秩为1。2重特征根的原因：只有一个线性无关的解，那么秩就为3-1=2，这里3是A的阶数，1是1个线性无关解，则有2重特征根。